Gokadvies

Yes, hij is weer begonnen, de Tour de France. En het volgen wordt nog leuker als je meedoet met een pooltje. Wij doen dat al 30 jaar in familieverband, maar je kunt ook online een gokje wagen, en dan doen er soms wel 60,000 mensen mee. Natuurlijk wil ik gokken zeker niet promoten – heel goed dat immorele profvoetballers niet meer in gokcommercials mogen optreden- maar mijn advies lijkt me redelijk onschuldig. Bovendien: met gokspelletjes is het elegante vakgebied van de kansrekening ontstaan, en dat komt ook nu weer van pas.

De regels van het spel

Ik had gisteren een discussie met een vriend die online meedoet met een bekende Tour de France pool. Uiteraard bespraken we de te kiezen renners. Tadej Pogacar, natuurlijk, zei hij. Logisch, want de winnaar van de afgelopen twee edities, en ook dit jaar huizenhoog favoriet. Maar is het wel verstandig hem te kiezen? Voordat we gaan rekenen eerst even de regels van ‘t gokspel. Ten eerste: er is maar één winnaar van de pool. Ten tweede: je mag tien renners inzetten en hebt daarvoor een vast budget. Goede renners kosten meer, uiteraard. Het gevolg van de tweede regel is duidelijk: als je Pogacar kiest, heb je veel minder budget voor andere renners. Dus laten we eens berekenen of die keuze wel verstandig is.

Aannames

Om dat te doen, moeten we wat aannames maken. Hier zijn ze.

1. De andere spelers hebben net zoveel verstand van wielrennen als jij.
2. Pogacar doet het óf heel goed, dus hij haalt veel punten, óf heel slecht, bijvoorbeeld omdat hij ziek wordt (corona ligt op de loer!) of valt. De kans op dat eerste is 90%, dus de kans op het tweede 10%.
3. Van de gokkers kiest 95% Pogacar. Deze groep gokkers noem ik de groep Pogi, naar zijn koosnaampje.
4. Als Pogacar het goed doet, dan komt de winnaar uit de groep Pogi.
5. Als Pojacar het slecht doet, dan komt de winnaar uit de andere groep.

Aanname 4 lijkt me evident, maar waarom is ook aanname 5 redelijk, tenminste als je met veel gokkers speelt? Nou, als je Pogacar gekozen hebt, ben je veel budget kwijt aan hem, en heb je dus minder goede andere renners moeten kiezen. Terwijl de 5% gokkers die Pogacar niet hebben gekozen (aanname 3) wel heel goede andere renners konden kiezen, bijvoorbeeld Roglic en Vingegard. En 5% van 60,000 gokkers zijn nog altijd 3,000 concurrenten.

Lekker rekenen

Dus wat is de kans dat je wint als je Pogacar wel kiest? Niet zo moeilijk. Aannames 2 en 4 zeggen samen dat de kans dat de winnaar uit de groep Pogi komt 90% = 0.9 is. Aanname 3 zegt dat deze groep uit 0.95 x 60,000 = 57,000 gokkers bestaat. Obv aanname 1 is de kans dat jij de beste van hen bent 1/57,000, dus de uiteindelijke kans is 0.9 x 1/57,000 ≈ 1 op 63,000. Reken nu zelf maar na dat de kans dat jij wint als je Pogacar niet kiest gelijk is aan 0.1 x 1/3,000 = 1 op 30,000.

Surprise! Je winstkans is dus ruim 2x zo groot als je Pogacar niet kiest! “Maar waarom wint dan meestal toch iemand die de favoriet wél koos?”, hoor ik die vriend zeggen. Simpel antwoord: jouw kans is niet de groepskans. Voor de groep Pogi als geheel is de winstkans inderdaad groot (nl. 90%), maar jij moet dan nog winnen binnen die véél grotere groep, en dat keert het effect om. De berekening wordt lastiger met weinig gokkers. Aanname 5 wordt dan minder aannemelijk. De intuïtie daarachter is dat de groep die Pogacar niet koos nu zeer klein is, en wellicht hebben de gokkers in deze groep allemaal ongelukkige andere keuzes gemaakt. Dan wint waarschijnlijk toch een speler uit de relatief grote groep Pogi, ook al doet Pogacar het wel slecht. Dus in geval van weinig gokkers loont het dus minder om de favoriet niet te kiezen. Moraal van het verhaal: hoe meer gokkers, hoe verstandiger het is om een op het oog vreemde strategie te volgen.

Speltheorie

Stel nu dat heel veel gokkers deze blog post hebben gelezen (ik zeg ‘stel’, hè). En stel dat velen mij geloven. Dan zou het best kunnen dat het percentage van alle online gokkers dat Pogacar kiest omlaag gaat van 95% naar 85%. En nu lees jij dat, en jij beseft dat je winstkansen dan juist weer omhoog gaan als jij wél Pogacar kiest (reken maar na, je weet nu hoe het moet). Maar je medespelers lezen dit ook, dus ook zij veranderen hun strategie weer…. Oh nee, ik word gek! Dat werd John Nash ook*. Maar hij kreeg wel een Nobelprijs voor zijn bijdragen aan de speltheorie, het vakgebied dat de wiskundige wetten beschrijft waartoe bovenstaand reactief gedrag leidt. Maar ik maak mezelf geen illusies: deze blog post gaat vast niet viraal. Dus gelukkig kun je als lezer de simpele regel volgen: gok op het onverwachte als je heel veel tegenstanders hebt. Genoeg gerekend weer. Tijd om de tv aan te zetten en nog net die eindsprint mee te pakken! Op wie zet jij in: Dylan Groenewegen of Fabio Jakobsen?

*Zie de film “A beautiful mind” met een Oscarwinnende Russell Crowe als John Nash.

Credit

Hoofdfoto: Wikimedia Commons