Hoeveel voetbalplaatjes moet je kopen om je WK-album vol te krijgen?

Het WK komt eraan. Ook ik heb die bijsmaak die velen van jullie zullen hebben. Jammer dat dit het eerste WK met het Nederlands elftal is dat mijn voetbalgekke jongste zoon bewust gaat meemaken. Hij heeft nu een WK album in bezit met de bekende plakplaatjes waarvan menig sentimenteel vaderhart sneller gaat kloppen. De centrale vraag die ik, papa de nerd, hem stelde was: “Hoeveel kaartjes denk je dat je moet kopen om het album vol te krijgen?” Een verhaal over kansrekening, maar ook over rijke vrienden en arme Nepalese bouwvakkers.

Gokken

Eerst even de gegevens. In het album zitten per team 20 plaatjes van de spelers, dus in totaal moet hij 32 x 20 = 640 unieke plaatjes sparen om het album compleet te krijgen. Natuurlijk heeft de producent er nog een hoop plaatjes bij verzonnen (o.a. die verdoemde stadions), maar die “boeien verder niet”.Dan nu het eerste antwoord van van mijn jongste op mijn vraag: ‘schouders omhoog’ (ook boeien, dus). Even aandringen: “Doe een gok”. Hij: “850”. Mijn oudste zoon, iets wijzer: “2500”. Mijn vrouw, veel wijzer (zij leest dit ook… ): “6000”. Wat denk jij? Niet te lang nadenken.

De oplossing

Even geduld, de kansberekening eerst. Ik zou kunnen proberen voor elk aantal gekochte plaatjes de kans te bepalen dat alle 640 afbeeldingen minimaal één keer erbij zitten. Is ellende. Je wilt niet weten hoeveel combinaties van plaatjes er zijn. Zoals wel vaker met kansrekening: als je een slimme invalshoek te pakken hebt, kan de oplossing vrij eenvoudig zijn. De truc hier is om het verwachte aantal te kopen kaartjes, E, te schrijven als de som van E_k: het verwachte aantal om van k naar k+1 unieke plaatjes te gaan. En dit doen we voor alle k = 0, …, 639, want daarna is het album vol. Makkie voor k=0: E₀ = 1, want elk gekocht plaatje is dan nog uniek.

Spoel nu even vooruit: mijn zoon heeft de helft van z’n album vol, 320 unieke plaatjes dus. Hoeveel plaatjes moet hij nu gemiddeld kopen om een nieuwe te krijgen? Aangezien 1 op de 2 een nieuwe zal zijn, zal hij gemiddeld 1/(1/2) = 2 plaatjes moeten kopen. Dat is dus E₃₂₀. Ik schrijf expres 1/(1/2), want daarna kunnen we de algemene formule opschrijven. Als hij nog 1/4 van de plaatjes moet (hij heeft er dan dus al 480), dan moet hij gemiddeld E₄₈₀ = 1/(1/4)  = 4 plaatjes kopen. Valt mee toch? Het probleem zit ‘m natuurlijk in de laatste plaatjes. Voor het allerlaatste plaatje (1 van de 640) moet hij gemiddeld E₆₃₉ = 1/(1/640) = 640 plaatjes kopen! Algemene formule voor E_k is dus: E_k  = 1/(1-k/640). Alles optellen geeft:

 E = E₀ + E₁ + … + E₃₂₀ + … + E₄₈₀ + … + E₆₃₉ = 1/(1-0) + 1/(1-1/640) +… + 1/(1 – 320/640) + … + 1/(1 – 480/640) + … + 1/(1-639/640) = ?

Dit doen we met de computer natuurlijk¹. En het antwoord is (…trommelgeroffel…) E = 4505.258. Het is een gemiddelde waarde, dus nee, dit hoeft geen geheel getal te zijn (net zoals het gemiddelde aantal ogen 3.5 is als je met een dobbelsteen gooit). Maar zeg dus 4505 plaatjes kopen om het album vol te krijgen. Mijn oudste zoon en mijn vrouw zaten er aardig dichtbij. Jij ook?

Rijke vriendjes

Eén pakje plaatjes bevat er 5, en kost 1 euro. Dus dit gaat zo’n 4505/5 = 901 euro kosten. Ai, dat is een serieuze aanslag op het zakgeld van m’n 11-jarige. Wat te doen? Zoals wel vaker in het leven zijn rijke vriendjes/vriendinnetjes de oplossing. Trommel vijf rijke vriendjes op, en haal ze over om mee te doen. Zij zijn ook niet gek, ze geven hun kaartjes natuurlijk niet zomaar weg, en sowieso pas als ze het plaatje dubbel hebben! Dus in het begin koop jij ook kaartjes, net zoveel als zij, en je geeft hen er af en toe één die zij nog niet hebben. Nee, je hoeft nog even niks terug. Zo kweek je sympathie.

Je stopt met kopen als je nog 200 plaatjes moet. Je zegt natuurlijk niet dat je stopt. Zij moeten er dan ook nog ongeveer 200 (sommigen wat meer, anderen wat minder). Zij zijn rijk, dus gaan door met kopen. En dan sla je toe: “Fijn dat jij die nu hebt. Ik heb jou eerder die-en-die gegeven, dus kom maar op met dat plaatje.” Niets tegenin te brengen. Handig om een paar dubbele achter de hand te houden, zodat je ze af en toe nog wat terug kunt geven. 

Waarom toch zeker wel vijf vrienden? Twee redenen. Bij slechts één rijke vriend is de kans te groot dat hij zijn album vol heeft voordat het jouwe vol is. En dan moet je alsnog veel plaatjes zelf kopen. Ten tweede: zo kun je het ‘bedelen’ om een plaatje een beetje spreiden. En hoeveel plaatjes heb jij dan moeten kopen? Ongeveer 743 (zelfde formule als hierboven, maar nu stop je bij k = 640-200 = 440). Dat kost ongeveer 149 euro. Met Sinterklaas in aantocht moet dat lukken, toch?

Moralen van het verhaal

Ten eerste: Met kennis van kansrekening en een beetje programmeren kun je veel geld besparen als je rijke, niet al te slimme, vrienden hebt. Nu maar hopen dat mijn vrienden dit niet lezen.

Ten tweede: De Fifa verdient erg veel geld aan die plaatjes (portretrechten). Maar dat is geen verrassing. Misschien zijn ze alleen daarom wel van 24 naar 32 deelnemende landen gegaan. Als ze in 2030 een WK in Bahrain, Monaco en de Emiraten organiseren voor alle 211 aangesloten landen, dan kunnen ze gemiddeld 37663.18 plaatjes verkopen. Kassa! Kunnen ze toch weer een groot aantal maandsalarissen van Nepalese bouwvakkers van betalen.²

ps. Het album van m’n jongste is trouwens nog angstvallig leeg.

¹Kan in één regel code; waarmee ik nogmaals het belang van informatica op de middelbare scholen wil benadrukken.

²37663/5 pakjes plaatjes à 1 euro kosten ≈ 7533 euro. Minimum maandloon is ong. 235 euro (bron: amnesty.nl). Dus dat zijn 7533/235 ≈ 32 maandsalarissen.

Hoofdfoto: Sandro Schuh op Unsplash